管制圖的學習

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在參加南區統計研討會時，由在工廠環境工作多年且經驗豐富的教授講師口中，聽說了管制圖的存在。因此，我便花了一些時間整理並初步學習了什麼是「管制圖」。

管制圖（Control Charts）是沃特·安德魯·休哈特（Walter Andrew Shewhart）於 1920 年代在貝爾實驗室提出的統計製程管制工具。它透過繪製製程數據隨時間的變化，並結合中心線（central line, CL）、管制上限（upper control limit, UCL）與管制下限（lower control limit, LCL），判斷製程是否處於統計管制狀態。其作法與統計中的假設檢定（hypothesis testing）相似，即以「製程處於統計管制狀態」作為虛無假設（$H_0$）。當樣本點落在管制界限內時，表示沒有足夠證據拒絕 $H_0$ ；反之，若樣本點超出管制界限，則拒絕 $H_0$，表示製程可能受到影響，應進一步診斷並找出異常來源。

休哈特管制圖

最早提出的管制圖為休哈特管制圖（Shewhart Control Charts），其目的是假設製程樣本服從某分布時，各次抽樣所得的統計量會圍繞著某一固定中心值隨機波動，因此可利用統計方法建立合理的波動範圍，以判斷製程是否仍維持在統計管制狀態。

假設某項品質特性 $X$ 服從平均數為 $\mu$ 、變異數為 $\sigma^2$ 的常態分布，則樣本的標準誤（Standard Error）為 $$ SE(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, $$ 其中， $n$ 表示抽樣的樣本數量。

以中心線（CL）為 $\mu$ ，則

• UCL : $\mu + k \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
• LCL : $\mu - k \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

其中， $k$ 是管制界限係數，代表管制界限和中心線的距離，實務上多設定 $k = 3$ 。

理論上可以選擇任何正數作為管制界限係數 $k$，但若 $k$ 太小，正常製程中的隨機波動便容易超出界限，造成過多的誤警報（False Alarm）；反之，若 $k$ 太大，又可能使真正的異常無法及時被偵測。因此，休哈特提出以 3 倍標準誤作為管制界限，在誤警報率與異常偵測能力之間取得良好的平衡。

依據常態分布的性質，大約有 $99.73\%$ 的觀測值會落在平均數前後 3 個標準誤的範圍內，因此可得到

$$ P\left( \mu-3\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \bar X \le \mu+3\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \approx0.9973. $$

當製程維持正常時，僅約有 $1 − 0.9973 = 0.0027$ 的機率會因隨機因素而超出管制界限，也就是約 $0.27\%$。

結語

管制圖是一種以統計學為基礎的製程監控工具，可以判斷製程是否維持在統計管制狀態，並在異常發生時及早發現製程中的變化，協助找出可歸屬原因，降低異常持續發生所帶來的影響。

經過近一個世紀的發展，管制圖已從最初的休哈特管制圖，逐漸發展出適用於不同資料型態與應用情境的各種管制圖，以及能夠偵測製程細微變化的進階方法，使統計製程管制的應用更加完整且廣泛。

參考來源

• 【規格上下限】從 LSL、USL 到LCL、UCL：簡單又全面掌握規格上下限的知識。（2024年12月10日）。品質塗鴉 Quality Graffiti 。 2026年7月6日參考自 https://www.qualitygraffiti.com/2024/12/LSL-USL-LCL-UCL.html
• 管制圖(Control Chart)。（n.d.）。清華大學品質研究中心 Quality Research Center 。 2026年7月6日參考自 https://mx.nthu.edu.tw/~ctsu/QRC/studyQ/control_chart/index.htm
• 管制圖。（2023年9月18日）。維基百科，自由的百科全書。 2026年7月6日參考自 https://zh.wikipedia.org/zh-tw/管制圖
• 68–95–99.7法則。（2026年5月29日）。維基百科，自由的百科全書。 2026年7月6日參考自 https://zh.wikipedia.org/zh-tw/68–95–99.7法則