標準化的方法

封面圖片由 ChatGPT 生成。

前言

在進行統計分析時，往往會接觸到各種類型的資料，而這些資料可能具有不同的單位與數值範圍。為了消除單位差異所帶來的影響，並提升資料之間的可比性，常需透過適當的尺度轉換來進行標準化處理，也就是讓它們在同一個尺度下進行分析。根據應用需求的不同，標準化的方法也各式各樣，不同方法所帶來的差異，甚至可能左右後續的統計推論與模型表現。

但問題來了，「標準化」的方法有很多，常聽到的有「Normalization」和「Standardization」，這兩個詞到底是什麼意思？有什麼差別？該用哪一種？接下來就來一一說明。

標準化

我們常聽到的標準化（standardization），又稱作標準分數（standard score）、 Z 分數標準化（Z-score standardization），是將原始數據扣除其平均值後再除以標準差，如下所示：

$$ Z = \frac{X - \mu}{\sigma}, $$

其中， $Z$ 是經過標準化後的數值、向量， $X$ 是原始數值、向量， $\mu$ 是 $X$ 的樣本或母體平均值（mean）， $\sigma$ 是 $X$ 的樣本或母體標準差（standard deviation）。經過標準化後會使數據的平均值為 0 ，標準差為 1 ，也就是數據會服從常態分布（Normal distribution / Gaussian distribution），讓進行統計分析時減少離群值或異常值（outliers）對於模型的影響。

$$ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1). $$

正規化

正規化（normalization），又稱為歸一化、特徵縮放（feature scaling），是將數據縮放到指定區間的一種方法，常見的方法是最小值-最大值歸一化（Min-Max normalization），可以將數據依比例縮放到 $[0, 1]$ 區間，公式如下

$$ X’ = \frac{X - X_{\min}}{X_{\max} - X_{\min}} \in [0, 1], $$

其中， $X’$ 是經過最小值-最大值歸一化後的數值、向量， $X$ 是原始數值、向量， $X_{\min}$ 是原始數據的最小值， $X_{\max}$ 是原始數據的最大值。歸一化僅會縮放數據到指定區間，而不改變原數據的分布情形。

我們也可以將數據縮放到指定的 $[a, b]$ 區間，公式如下

$$ X’ = a + \frac{(X - X_{\min})(b - a)}{X_{\max} - X_{\min}} \in [a, b]. $$

結語

Standardization 適合處理服從常態分布、需要消除平均與變異差異的資料，而 Normalization 則用於需將數據壓縮至特定範圍、避免特徵值差異過大影響模型的情境。雖然兩者在中文中常被統稱為「標準化」，但實際上所做的轉換與目的並不相同。

資料來源

• Normalization (statistics)。（2025年6月19日）。維基百科，自由的百科全書。2025年7月9日參考自 https://en.wikipedia.org/wiki/Normalization_(statistics)

• Standard score。（2025年5月24日）。維基百科，自由的百科全書。2025年7月9日參考自 https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score

• anonymous9007。（2022年9月6日）。[Day8]資料正規化(Normalization)與標準化(Standardization)。 iT 邦幫忙。2025年7月9日參考自 https://ithelp.ithome.com.tw/articles/10293893

• 歸一化、標準化、中心化分別是什麼？。（2022年6月20日）。AI共學社群。2025年7月9日參考自 https://www.cupoy.com/collection/0000018008CD5D70000000046375706F795F72656C656173654355/00000181709BCC8F000000056375706F795F72656C656173654349

• Feature scaling。（2024年8月24日）。維基百科，自由的百科全書。2025年7月9日參考自 https://en.wikipedia.org/wiki/Feature_scaling